Tadeusz Piecuch, Jacek Piekarski, Grażyna Malatyńska
Politechnika Koszalińska

Streszczenie
W niniejszej publikacji, rozpatrzono od strony teoretycznej proces filtracji mieszaniny cieczy i ciała stałego napływającej na siatkę filtracyjną. Ten rodzaj procesu filtracji jest charakterystyczny dla urządzeń filtracyjnych takich jak: filtry próżniowe, prasy filtracyjne oraz filtry ciśnieniowe w mniejszym stopniu wirówki filtracyjne [10, 17–22, 25–27]. Bazą rozważań jest więc ogólny zapis według równania (10) przedstawiony dla procesu filtracji z tworzeniem osadu ściśliwego na siatce filtracyjnej przy uproszczonym założeniu, że cała objętość zawiesiny (VN) nadana do procesu filtracji, przykładowo próżniowej lub ciśnieniowej [1–3, 23, 24, 33–39] zostanie zatrzymana na siatce filtracyjnej (VNβN), a więc zagęszczenie filtratu będzie równe zero. Zatem równanie (10) przyjmie postać (11). W równaniu tym, jak wyżej, przyjmijmy dla uproszczenia wywodu matematycznego pewne nowe stałe, a mianowicie, zapiszmy stałą A w postaci (12). Następnie stałą B określmy według zapisu (13)  (13), oraz stałą C ujmijmy według zapisu (14). Biorąc pod uwagę powyższe uproszczenia można przedstawić rozwiązanie ogólne równania różniczkowego (11) procesu filtracji ze zmiennym ciśnieniem w postaci całki (15). Rozpatrzmy poszczególne przypadki rozwiązania całki zapisanej równaniem (15). Dla B=1 całka przyjmie postać (16). Dla B=0,5; xB=x0,5= , całka (15) ma postać (17). Podstawiając =t, mamy x=t2, a stąd dx=2tdt, i tym sposobem całkę (17) z funkcji niewymiernej sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej j (18). Funkcję podcałkową f(t), która jest funkcją wymierną niewłaściwą przedstawiamy w postaci (19) i całkując obustronnie otrzymujemy (20). Ostatecznie uwzględniając wynik (20) w całce (18) i wracając do wyjściowej zmiennej x otrzymamy, że całka wyraża się wzorem (21). W szczególności, jeśli dolna granica całkowania jest ustalona i wynosi a=0, natomiast górna granica całkowania jest zmienna, to otrzymamy rozwiązanie równania filtracji w postaci (22). Dla B=2/3; xB=x2/3=  całka (15) ma postać (23). Poprzez podstawienie =t, mamy x=t3, dx=3t2dt, i całkę z funkcji niewymiernej (23) sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej (24). Całkę tego typu oblicza się przedstawiając funkcję podcałkową f(t), która jest funkcją wymierną niewłaściwą, w postaci (25). Uwzględniając rozkład (25) w całce (24) i korzystając ze wzoru (26), otrzymamy (27). Uwzględniając ten wynik we wzorze (24) oraz wracając do podstawienia t=  otrzymamy ostatecznie, że całka (23) wyraża się wzorem (28). W szczególności, jeżeli dolna granica całkowania jest ustalona i wynosi a=0, natomiast górna granica całkowania jest zmienna, to otrzymamy ogólne rozwiązanie równania filtracji  wg zapisu (29). Dla B=1/3; xB=x1/3=  całka (15) ma postać (30). Poprzez podstawienie =t, mamy x=t3, oraz dx=3t2dt i całkę (30) sprowadzamy do całki funkcji wymiernej postaci (31). Funkcja podcałkowa f(t) jest funkcją wymierną niewłaściwą, a więc dzieląc licznik przez mianownik przedstawiamy ją w postaci (32). Uwzględniając rozkład (32) w całce (31) i całkując obustronnie otrzymamy, że całka stojąca po prawej stronie ma postać (33). Następnie wracając do wyjściowej zmiennej tj. do podstawienia t=  otrzymamy, całkę ogólną postaci (34). W szczególności, jeżeli dolna granica całkowania jest ustalona i wynosi a=0, natomiast górna granica całkowania jest zmienna, to dla B=2/3 całkę (30), wyrażamy za pomocą funkcji (35). Z przeprowadzonej analizy teoretycznej wynikają pewne ogólne wnioski dla badaczy procesu filtracji – w tym przypadku procesu filtracji przez siatkę filtracyjną z tworzeniem osadu ściśliwego w trakcie trwania procesu na tej siatce. Otóż:

  • nie można ustalić jednakowej formuły ogólnego równania filtracji takiego, w którym wystąpi parametr ściśliwości osadu w ogólnym zapisie fizykalnym (tutaj B=sO), do którego to równania będzie można podstawiać wprost dowolne wartości współczynnika ściśliwości sO, w granicach pomiędzy wartością zero oraz jeden i określać przepływ medium przez taką przegrodę porowatą – tu siatkę filtracyjną,
  • w przypadku procesu filtracji z tworzeniem osadów ściśliwych na siatce filtracyjnej – chcąc korzystać z ogólnego zapisu równania różniczkowego filtracji, należy je każdorazowo najpierw rozwiązać poprzez całkowanie podstawiając najpierw do tego równania, konkretną wartość współczynnika ściśliwości (sO=B). Końcowe fizykalne zapisy tych rozwiązań, dla wybranych współczynników ściśliwości sO przedstawiono w tablicy 1,
  • przed ewentualnym wykorzystaniem ogólnego równania różniczkowego filtracji, jako równania wyjściowego, na podstawie którego chcemy wyliczyć przepływ (wydatek objętościowy) należy najpierw ustalić wartość stałej b0 z zapisu empirycznego (5) dla określenia wartości parametru przepuszczalności K; a więc parametru przepuszczalności, który musi być znany,
  • wyznaczenie wartości współczynników stałych, które występują w zapisie ogólnego równania filtracji (11) (a więc t’, b0) będzie przedmiotem badań Autorów publikacji dla konkretnych, typowych mieszanin, które można spotkać w bieżącej praktyce inżynierskiej i będzie przedmiotem kolejnych publikacji Autorów jako dalszy ciąg badań podstawowych nad procesem filtracji,
  • przeprowadzona powyżej analiza teoretyczna procesu filtracji osadów ściśliwych wskazuje jednoznacznie, że wykorzystywanie w praktyce ogólnego równania różniczkowego procesu filtracji poprzez jego rozwiązanie, tj. całkowanie, przy założonej (a więc w praktyce znanej wartości współczynnika ściśliwości sO=B) jest jednak bardzo trudne i skomplikowane, a tym samym nie rokuje pozytywnych perspektyw bieżącego wykorzystywania przez projektantów tego równania.
Słowa kluczowe
osady ściśliwe; filtracja
 
Pełny tekst